Addition relativistischer Geschwindigkeiten beliebiger Richtungen im R4

Roland Alfred Sprenger 28.11.2025

Inhalt

Es wird ein vektorielles Konstruktionsverfahren zur Addition relativistischer Geschwindigkeiten mit beliebigen Richtungen unter Zuhilfenahme einer zusätzlichen Hilfsdimension w gezeigt und begründet.

Abschnitte:

1. Einleitung

2. Der Sonderfall gleicher Richtungen

3. Zueinander senkrechte Richtungen

4. Beliebige spitze Winkel zwischen u´ und v

5. Konstruktion mit Vorderansicht, Seitenansicht und Draufsicht

6. Stumpfe Winkel zwischen u´ und v
7. Zusammenfassung und Ausblick

Anhang

1. Einleitung

Wie üblich wird zur Vereinfachung die x-Achse des Beobachtersystems S in die Bewegungsrichtung eines ersten Köpers, z.B. einer Rakete mit der Geschwindigkeit v, gelegt (Fettdruck bedeutet Vektor, Normaldruck Betrag des Vektors ). In deren Ruhsystem S´ wird bei der Koinzidenz beider Bezugssysteme aus der Rakete ein zweiter kleiner Köper, z.B. ein Proton, mit der Geschwindigkeit u´ in beliebige Richtung abgeschossen. Die x-Achsen beider Systeme liegen parallel. Der Beobachter in S misst die Geschwindigkeit u des Protons mit den Komponenten u_x , u_y , u_z . Es gilt

u_x= (u´_x+ v) / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] (1)

u_y= (u´_y ∙ γ´) / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] mit γ´ = 1 / γ = √ (1 - v²/ c² ) (2)

u_z= (u´_z ∙ γ´) / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] . (3)

2. Der Sonderfall gleicher Richtungen

Wenn die Geschwindigkeiten des ersten und des zweiten Körpers gleichgerichtet sind, gilt u_y= u_z= 0 und
u_x= (u´_x+ v) / [1 + (u´_x∙ v) / c² ] , mit u´_x= u´ und u_x= u ,

also das Additionstheorem der Geschwindigkeiten u = (u´ + v) / [1 + (u´∙ v) / c² ] .

Im Zähler steht die klassische arithmetische Summe der Geschwindigkeitsbeträge; der Nenner verkürzt sie relativistisch. In den Skripten „Relativistische Addition von Geschwindigkeiten im R⁵„ [1] und „Ruhelänge und dilatierte Zeit in der fünfdimensionalen Raumzeit„ [2] erweist sich die Einführung einer vierten räumlichen Hilfsdimension als vorteilhaft. Deshalb wird auch hier wie dort angenommen, dass der Betrag des klassisch addierten Geschwindigkeitsvektors in diesem vierdimensionalen Raum erhalten bleibt (s. Abb. 1), dass im dreidimensionalen Weltraum aber nur dessen entsprechende drei Komponenten auftreten, d.h. die orthogonale Projektion des vierdimensionalen Geschwindigkeitsvektors in den dreidimensionalen Weltraum.

Dann ist der relativistisch verkürzte Vektor u die Kosinus-Komponente des Summenvektors u´+ v, welcher um einen Winkel ψ in diese vierte räumliche Dimension gedreht ist und dann u* heißen möge. Das heißt

u = (u´ + v) cos ⁡ψ .

Aus dem Additionstheorem folgt cos ⁡ψ = 1 / [1 + (u´ ∙ v) / c² ] . (4)

Wenn man mit (4) ψ berechnet und um den Ursprung einen Bogen mit dem Radius u´+ v schlägt, bestimmt das Lot von dessen Schnittpunkt mit dem freien Schenkel von ψ auf die x-Achse die Geschwindigkeit u (s. Abb. 1).

Abb. 1: Geometrische relativistische „Addition“ (besser: Kombination) gleichgerichteter Geschwindigkeitsvektoren u´ und v mithilfe einer vierten Dimension in w-Richtung; zugehöriges Zahlenbeispiel im Anhang

Anstatt ψ numerisch zu berechnen, kann man ψ auch rein geometrisch konstruieren [3]: Man konstruiert zunächst das Produkt p = (u'/c) (v/c) aus Gl. 4 mit dem Strahlensatz (s. Abb. 2), indem man eine Parallele zur Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (1|0) und (0|u´) durch den Punkt (v|0) zieht. Für die Strecken (ohne die Maßeinheit c) gilt p : u´ = v : 1 und somit p = u´ v . Damit konstruiert man die Strecke 1+p , also den Nenner von Gl. 4 . Dann konstruiert man ein rechtwinkliges Dreieck mit der Ankathete 1 und der Hypotenuse 1+p . Der Winkel am Ankathetenfuß ist ψ, denn cos ⁡ψ = 1 / (1 + p).

Abb. 2: Geometrische Konstruktion des Winkels ψ aus Abb. 1 in der Draufsicht

3. Zueinander senkrechte Richtungen

Der erste Körper (die Rakete) bewege sich wieder in Richtung der positiven x-Achse mit der Geschwindigkeit v . Der zweite Körper (das Proton) wird bei der Koinzidenz der Systeme im Ursprung senkrecht zur Bewegungsrichtung des ersten Körpers mit der Geschwindigkeit u´ abgeschossen. Zur Vereinfachung wird die y´-Achse des Ruhsystems S´ des ersten Körpers durch den Vektor u´ gelegt. Dann gilt u´_x= 0 , u´_y= u´ , u´_z= 0 .

Aus Gl. 1 folgt mit u´_x= 0 : u_x= v .

Gl. 2: u_y= (u´_y ∙ γ´) / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] vereinfacht sich mit u´_x= 0 zu u_y= u´_y ∙ γ´

und aus Gl. 4 folgt ψ = 0° .

Die Geschwindigkeitskomponente u_y ist demnach die durch den Faktor γ´ gestauchte Geschwindigkeit u´_y = u´ . Man erhält sie durch geometrische Konstruktion, wenn man vom Punkt (0 | u´_y | 0) aus in der y-w-Ebene einen Viertelkreis zeichnet (s. Abb. 3), dann einen Winkel ω mit
cos ω = γ´ (5)
vom Ursprung und der y-Achse aus in der y-w-Ebene (oder x-y-Ebene) anträgt und dann vom Schnittpunkt des Viertelkreises mit dem freien Schenkel von ω das Lot auf die y-Achse fällt. Denn in dem dadurch entstehenden rechtwinkligen Dreieck (Abb. 3) hat die Ankathete die Länge u´_y∙ cos⁡ ω = u_y .

Abb. 3: Geometrische relativistische Kombination zueinander senkrechter Geschwindigkeitsvektoren u´ und v mithilfe einer vierten Dimension in w-Richtung; zugehöriges Zahlenbeispiel im Anhang

Der Vektor u´ wird um den Winkel ω in die vierte Dimension gedreht und dann als Vektor u´* mit dem Vektor v zum Vektor u* addiert. Die senkrechte Projektion von u* in die x-y-Ebene ist die gesuchte Geschwindigkeit u. Wegen des rechten Winkels zwischen u_y und v gilt u = √ (v²+ u_y²) .

Den Winkel ω kann man anstatt mit γ´ = √ (1 - v²/c² ) , also cos⁡ ω = √ (1 - v²/c² ) einfacher mit

sin⁡ ω = v / c berechnen, denn

es folgt cos²ω = 1 - (v/c)²

⇒ cos²ω + (v/c)² = 1

⇒ sin⁡ ω = v / c (6)

Damit kann man auch den Winkel ω konstruieren, s. Abb. 4. Dazu schlage man um den Punkt (0|0,5|0)c einen Halbkreis mit dem Radius 0,5 c und dann um den Punkt (0|1|0)c einen Bogen mit dem Radius v/c . Durch deren Schnittpunkt verläuft der freie Schenkel von ω , denn in dem entstandenen rechtwinkligen Dreieck gilt mit der Maßeinheit c der Strecken sin ω = v : c .

Abb. 4: Konstruktion des Winkels ω aus Abb. 2 in Seitenansicht (mit den Zahlen von Beispiel 2, s. Anhang).

4. Beliebige spitze Winkel zwischen u´ und v

Nun sei bei ansonsten gleichen Verhältnissen wie in Abschnitt 3 der Winkel zwischen u´ und v im Bereich von 0° bis 90° beliebig. Die Komponente u_x wird mit u´_x und v genauso konstruiert, wie in Abschnitt 2 dargestellt (s. Abb. 5), doch jetzt für beide Summanden einzeln: u_x= (u´_x+ v) ∙ cos ⁡ψ = u´_x∙ cos ⁡ψ + v ∙ cos ⁡ψ .

Gl. 2: u_y= (u´_y ∙ γ´) / [1 + (u´_x ∙ v) / c²] besagt, dass der Komponentenvektor u´_y zweimal nacheinander gestaucht wird, nämlich durch den Faktor 1 / [1 + (u´_x ∙ v) / c²] = cos ψ und durch den Faktor γ´ = √ (1 - v²/ c²) = cos ω . Dazu schlage man um den Ursprung einen Viertelkreis mit dem Radius u´_y in der y-w-Ebene, weil in Abb. 1 der Winkel ψ ja auch schon in der y-w-Ebene liegt. Von der y-Achse aus werden dann im Ursprung die Winkel ω und (ψ + ω) angetragen (s. Abb. 5). Vom Schnittpunkt des freien Schenkels von (ψ + ω) mit dem Viertelkreis wird das Lot auf den freien Schenkel des Winkels ω gefällt. Im dadurch entstandenen rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel ψ hat die Hypotenuse die Länge u´_y und die Ankathete die Länge u´_y∙ cos ψ . Vom Fußpunkt des Lotes wird nun ein zweites Lot auf die y-Achse gefällt. Im dadurch entstandenen rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel ω hat die Hypotenuse die Länge u´_y∙ cos ψ und die Ankathete die gesuchte Länge u´_y∙ cos ψ ∙ cos ω . Das ist die gesuchte Komponente u_y, denn

u´_y∙ cos ψ ∙ cos ω = u´_y∙ {1 / [1 + (u´_x∙ v) / c² ] } ∙ γ´ = u_y .

Abb. 5: Geometrische relativistische Kombination der Geschwindigkeitsvektoren u´ und v, zwischen denen ein beliebiger Winkel besteht, mithilfe einer vierten Dimension in w-Richtung; zugehöriges Zahlenbeispiel im Anhang

Die x- und y-Komponentenvektoren von u´ werden wie oben beschrieben in die vierte Dimension gedreht (grün) und dann vektoriell zum Vektor u´* (hellgrün) addiert. Der Vektor v wird ebenfalls in die vierte Dimension gedreht (hellblau) und mit u´* zu u* (hellrot) addiert. Der Vektor u* wird sodann senkrecht auf die Ebene projiziert, welche vom Vektor v* und dem freien Schenkel des Winkels ω aufgespannt wird. Danach wird der projizierte Vektor noch einmal orthogonal auf die x-y-Ebene projiziert. Der dreidimensionale Vektor u ist also die zweifache Projektion des vierdimensionalen Vektors u* .

Im dreidimensionalen Weltraum berechnet sich die Geschwindigkeit u, weil die y-Achse nach u´ ausgerichtet wurde, als
u = √ (u_x²+ u_y² ) .
Dabei gilt wegen (3) u_z= 0 .

Mit Gl. 4

und 5 lauten die Gleichungen 1 bis 3 dementsprechend

u_x= (u´_x+ v) ∙ cos ⁡ψ (7)

u_y= u´_y∙ cos ⁡ω ∙ cos ⁡ψ (8)

u_z= u´_z∙ cos ⁡ω ∙ cos ⁡ψ (9)

5. Konstruktion mit Vorderansicht, Seitenansicht und Draufsicht

Um die Zeichnung der Viertelkreise zu vereinfachen und auf die Berechnung der Lage ihrer Schnittpunkte mit den freien Schenkeln verzichten zu können, kann man die Konstruktion von Abb. 5 auch in Vorderansicht, Seitenansicht und Draufsicht durchführen, s. Abb. 6.

Abb. 6: Geometrische Konstruktion der kombinierten Geschwindigkeit u mit der vierten Dimension in w-Richtung und aufgelöst in Vorderansicht, Seitenansicht und Draufsicht (d.h. die Vektorbeschriftungen bezeichnen wie in technischen Zeichnungen auch die jeweiligen Projektionen der Vektoren), beschränkt auf die notwendigen Vektordarstellungen

6. Stumpfe Winkel zwischen u´ und v

Wenn der Winkel α´ zwischen den Geschwindigkeitsvektoren u´ und v stumpf ist, also 90° < α´ ≤ 180° gilt, ist die x-Komponente u´_x von u´ negativ. Dann ist der Winkel ψ nach der bisherigen Definition (4) cos ⁡ ψ = 1 / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] nicht definiert, weil folgt cos ψ > 1 .

Gl. 1 u_x= (u´_x+ v) / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] besagt, dass in diesem Fall der Zählervektor u´_x+ v nicht wie bisher mit dem Faktor 1 / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] gestaucht, sondern gestreckt wird. Das ist möglich in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel ψ´, in welchem die Strecke u´_x+ v die Ankathete und u_x = u_x* die Hypotenuse ist, s. Abb. 7. Denn dann gilt

cos⁡ ψ´ = (u´_x+ v) / u_x

und mit Gl. 1 cos⁡ ψ´ = 1 + (u´_x ∙ v) / c² < 1 (10)

wegen u´_x < 0 .

Die geometrische Konstruktion von u erfolgt, wie in Abb. 7 dargestellt.

D. h. nun gilt u_x = (u´_x + v) / cos⁡ ψ´ .

Die Konstruktion von u_y= (u´_y ∙ γ´) / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] erfolgt wie bisher mit den Winkeln ψ´ und ω. In der Seitenansicht wird wie in der Draufsicht bei den Dreiecken mit ψ´ der Tangentenabschnitt anstelle des Lotes verwendet. Wegen cos ω = γ´ < 1 bleibt die Definition des Winkels ω unverändert.

Abb. 7: Geometrische Konstruktion der kombinierten Geschwindigkeit u mit der vierten Dimension in w-Richtung entsprechend Abb. 6, aber mit stumpfem Winkel α´ zwischen u´ und v ; Zahlenbeispiel siehe Anhang

7. Zusammenfassung und Ausblick

Die Kombination relativistischer Geschwindigkeiten mit beliebigen Richtungen lässt sich als geometrische Konstruktion in einem vierdimensionalen Raum anschaulich als Vektoraddition durchführen. Die relativistischen Verkürzungen der Geschwindigkeitsvektoren erklären sich einfacher durch deren Drehungen in eine vierte räumliche Hilfsdimension. Die Drehungen ersetzen die Maßstabsänderungen der Minkowski-Diagramme.. Bei gleichen und zueinander senkrechten Richtungen ergibt sich die kombinierte Geschwindigkeit im Beobachtersystem durch einfache Projektion. Dadurch erklärt sich, dass dort alle Geschwindigkeiten durch die Lichtgeschwindigkeit begrenzt sind. Möglicherweise ist das ein Hinweis darauf, dass dieser Hilfsdimension auch physikalische Bedeutung zuzuschreiben ist. Falls sich dafür viele Indizien [1], [2], [5], [6] aus verschiedenen Bereichen der Physik finden werden, wie z.B. aus der Kosmologie [4], wird sich vielleicht irgendwann auch ein direkter Beweis führen lassen, so wie es bei der Kugelgestalt der Erde und dem heliozentrischen Weltbild geschehen ist.

Quellenangaben

[1] www.zenodo.org ; DOI 10.5281/zenodo.10966257

www.roland-sprenger.de: Relativistische Addition von Geschwindigkeiten im R⁵

[2] www.zenodo.org ; DOI 10.5281/zenodo.17266293
www.roland-sprenger.de: Ruhelänge und dilatierte Zeit in der fünfdimensionalen Raumzeit

[3] Chatgpt 5.2 Thinking

[4] www.zenodo.org; DOI 10.5281/zenodo.13336221;

www.roland-sprenger.de: Universum ohne Expansion und Urknall

[5] T. Kaluza: Zum Unitätsproblem der Physik. In: Sitzungsberichte Preußische

Akademie der Wissenschaften, 1921, S. 966–972, archive.org.

[6] Klein, O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Z. Physik 37,

895–906 (1926). https://doi.org/10.1007/BF01397481.

EOS | Quantum Gravity in the First Half of the Twentieth Century | Oskar Klein (1926):

Anhang

Beispiel 1 zu Abb. 1:

v =0,6 c ; u´ = 0,8 c ; u´ + v = 1,4 c

cos⁡ ψ = 1 / [1 + (u´ ∙ v) / c² ] = 0,6757 ; Ψ = 47,5°

(u´+ v) cos ψ = 1,4 c ∙ 0,6757 = 0,9460 c

Probe: u = (u´ + v) / [1 + (u´ ∙ v) / c² ] = 0,9459 c

Abgesehen von einem Rundungsfehler stimmen die Ergebnisse für u überein.

Beispiel 2 zu Abb. 3:

v = 0,5 c ; u´= u´_y = 0,7 c ; u´_x =u´_z= 0

u_x = 0,5 c

γ´ = √ (1 -0,5² ) = 0,8660 ; cos ω = γ´ = 0,8660 ; ω = 30°

u_y = u´ ∙ cos ω = 0,7 c ∙ 0,8660 = 0,6062 c

u = √ (u_x²+ u_y² ) = √ (0,5²+0,6062² ) c = 0,7858 c

Probe:

Gl.2: u_y= (u´_y ∙ γ´) / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] = (0,7 c ∙ 0,8660) / (1 + 0) = 0,6062 c

u = √ (u_x²+ u_y² ) = √ (0,5²+0,6062² ) c = 0,7858 c

Beispiel 3 zu Abb. 5:

v = 0,4 c ; u´ = 0,6 c ; u´_x = 0,3 c ⇒ u´_y = 0,5196 c

cos⁡ ψ = 1 / (1 + u´_x ∙ v / c² ) = 1 / (1 + 0,3∙0,4) = 0,8929 ⇒ ψ = 26,77°

u_x= (u´_x+ v) ∙ cos⁡ ψ = (0,3 + 0,4) c ∙ 0,8929 = 0,625 c

sin⁡ ω = v / c = 0,4 ⇒ ω = 23,6° ⇒ cos ω = 0,9165

u_y=u´_y∙ cos ⁡ω ∙ cos ⁡ψ = 0,5196 ∙ 0,9165 ∙ 0,8929 = 0,4252

u_z= u´_z∙ cos ⁡ω ∙ cos ⁡ψ = 0 ∙ 0,9165 ∙ 0,8929 = 0

u_w= (u´_x+ v) ∙ sin ⁡ψ = (0,3 + 0,4) ∙ sin⁡ 26,77° = 0,3153

u* = √ (u_x²+ u_y²+ u_z²+ u_w² ) = √ (0,625²+ 0,4252²+ 0²+ 0,3153²) c = 0,8190 c

u = √ (u_x²+ u_y² ) = √ (0,625²+0,4252² ) c = 0,7559 c

u* = (0,625 | 0,4252 | 0 | 0,3153) c

Probe:

Gl. 1: u_x= (u´_x+ v) / (1 + (u´_x ∙ v) / c² ) = (0,3 c + 0,4 c) / (1 + 0,3 ∙ 0,4) = 0,625 c

γ´ = √ (1 -0,4² ) = 0,9165

Gl. 2: u_y= (u´_y ∙ γ´) / (1 + (u´_x ∙ v) / c² ) = (0,5196 c ∙ 0,9165) / (1 + 0,3 ∙ 0,4) = 0,4252 c

u = √ (u_x²+ u_y² ) = √ (0,625²+ 0,4252² ) c = 0,7559 c

Beispiel 4 zu Abb. 7:

v = 0,6 c ; u´= 0,4 c ; α´ = 120°

u´_x = u´ cos 120° = -0,2 c ; u´_y = u´ sin 120° = 0,3464 c

u´_x + v = 0,4 c ; cos ψ´ = 0,88 ; ψ´ = 28,36°

u_x = u*_x = (u´_x + v) / cos ψ´ = 0,4546 c

cos ω = 0,8 ; ω = 36,87°

u_y = (u´_y / cos ψ´) cos ω = 0,3149 c

u = √ ( u_x² + u_y² ) = 0,5530 c

Probe:

Gl. 1: u_x = (u´_x + v) / [1 + (u´_x ∙ v) / c² ] = ( -0,2 c + 0,6 c ) / (1 - 0,2 ∙ 0,6) = 0,4545 c

γ´ = √ (1 - 0,62 ) = 0,8

Gl. 2: u_y = (u´_y ∙ γ´) / (1 + (u´_x ∙ v) / c² ) = (0,3464 c ∙ 0,8) / (1 - 0,2 ∙ 0,6) = 0,3149 c

u = √ (u_x² + u_y² ) = √ (0,45452 + 0,31492 ) c = 0,5529 c

Bis auf einen Rundungsfehler stimmen die Ergebnisse für u überein.