Fünfdimensionale Physik

Bewegte Emitter und Absorber von Photonen



1. Emission


Sendet ein mit relativistischer Geschwindigkeit bewegter Körper Photonen aus, so ist deren Geschwindigkeit im Bezugssystem eines Beobachters immer die Lichtgeschwindigkeit, egal ob das Photon in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung ausgesandt wird, d.h. ob sich die Geschwindigkeiten „addieren“ oder „subtrahieren“. 
Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten   u = (u´ + v) / (1 + (u´ v) / c²)                                                        (1)
ergibt für gleiche Richtungen, also u´= c,             
u = (c + v) / (1 + (c v) / c²) = [(c + v) / (c + v)] ∙ c = c
und für entgegengesetzte Richtungen, also u´ = -c   ,
u = (-c + v) / (1 + (-c v) / c²) = [(-c + v) / (c - v)] ∙ c = -c (mit v ≠ c)     .
Wenn sich der Emitter in Richtung der positiven x-Achse bewegt und im Ursprung ein Photon in positiver oder negativer Richtung emittiert wird, ergibt sich im fünfdimensionalen Minkowski-Diagramm [1] folgendes Bild:
                                                 
                                               
Abb. 1: Ein mit v < c bewegter Körper emittiert im Ursprung Photonen in Bewegungsrichtung und in entgegengesetzter Richtung.

 
Für v < c ergibt sich ein Drehwinkel φ < 90° . Die Weltlinie des Emitters ist die t´-Achse (in der orthogonalen Projektion blau). Das nach vorne emittierte Photon hat im Ruhsystem S´ des Emitters die Geschwindigkeit   u´ = c  und bewegt sich in ihm auf der Winkelhalbierenden w, welche mit der Winkelhalbierenden des Beobachtersystems S (rot, rechts) für beliebige Geschwindigkeiten v zusammenfällt. Somit hat das Photon auch in S für alle Geschwindigkeiten v des Emitters immer die Geschwindigkeit +c.     
Mit einer Geschwindigkeit -c des Photons bewegt sich dieses entgegengesetzt zum Emitter, also auf der Winkelhalbierenden in Richtung der negativen x´-Achse. Diese Winkelhalbierende hat sich bei der Drehung um den Winkel φ in einer zum Koordinatensystem S orthogonalen Ebene bewegt. Da sich das entgegengesetzt emittierte Photon in S´ mit der Geschwindigkeit -c auf der entsprechenden Winkelhalbierenden bewegt, die ja in dieser orthogonalen Ebene liegt, ist deren orthogonale Projektion nach S auch dort die Winkelhalbierende (rot, links). Somit ist auch für den Beobachter die Photonengeschwindigkeit immer -c. 
 
 

2. Absorption


Auch wenn ein Körper Photonen absorbiert, ist deren Geschwindigkeit in dessen Ruhsystem immer die Lichtgeschwindigkeit, egal ob das Photon vom (mit relativistischer Geschwindigkeit) bewegten Emitter in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtung ausgesandt wurde, d.h. ob sich die Geschwindigkeiten „addieren“ oder „subtrahieren“. Bei gleichen Richtungen sei die Emittergeschwindigkeit v positiv, bei entgegengesetzten negativ, s. Abb. 2.

                                                

Abb. 2: Absorber A, Photon P und bewegter Emitter E im Ruhsystem des Absorbers

 

Aus (1) folgt für u´ = c  :          u = (c + v) / (1 + (c v/c²)) = (c + v) / ((c + v) / c) = c .

Das Ergebnis ist von v unabhängig, also auch von dessen Vorzeichen und damit von der Orientierung der Geschwindigkeit v des Emitters:

Für  v > 0  (genauer 0 < v < c)   liegt derselbe Fall vor wie oben für gleiche Richtungen im rechten Teil von Abb. 1 dargestellt. Das Bezugssystem des Beobachters ist dann das Ruhsystem des Absorbers.

Für  v < 0  (-c < v < 0)  bewegt sich der Emitter nach links. Deshalb verläuft seine Weltlinie im Minkowski-Diagramm im 2. Quadranten, also über dem negativen Teil der x-Achse [1]. Da sie gleichzeitig die t´-Achse ist (x´ = const. = 0) und die x´-Achse bei den Maßeinheiten s und Ls immer spiegelbildlich zur Winkelhalbierenden  t = x  verläuft (t´ = const. = 0), verläuft die x´-Achse im 4. Quadranten, s. Abb. 3.
                                                         
Abb. 3: Ein Emitter entfernt sich mit v < 0 nach links vom ruhenden Absorber und sendet nach rechts zum Absorber ein Photon aus.

 
Nach der Formel   φ = arccos ⁡[tan ⁡(π/4 - arctan⁡ (v/c))]   aus [2] lässt sich für negatives v kein Drehwinkel um die Winkelhalbierende w1 berechnen, da arccos(x) für x > 1 nicht definiert ist. Das schiefwinklige Koordinatensystem S´ entsteht aber auch bei einer Drehung von S um die Winkelhalbierende w2 um einen Winkel  ψ  (s. Abb. 3). Dabei wird auch die Winkelhalbierende w1 um den Winkel  ψ  in die fünfte Dimension hinein gedreht. Dabei bleibt der Winkel von 45°, unter dem die Weltlinie von Photonen immer verläuft, erhalten. Diese im R5 verlaufende, in [1] als Lichtlinie bezeichnete Weltlinie hat als orthogonale Projektion nach S die Winkelhalbierende w1. Damit ist die Geschwindigkeit des betreffenden Photons in S, dem Ruhsystem des Absorbers, auch bei sich entfernendem Emitter die Vakuumlichtgeschwindigkeit c.
Der Winkel ψ für  v < 0   berechnet sich nach der Formel 
                                                                                   ψ = arccos ⁡[tan ⁡(π/4 + arctan ⁡(v/c))]  .
 
Beweis:
In [2] wird in Abschnitt 6 die Formel    tan ε = tan δ ∙ cos φ   für die Drehung eines Winkels δ um einen seiner Schenkel um den Winkel φ und die orthogonale Projektion ε des gedrehten Winkels in die ursprüngliche Fläche bewiesen. Laut Abb. 3 ist hier der gedrehte Winkel der Winkel 45°, der Drehwinkel der Winkel ψ und der projizierte Winkel der Winkel β/2 . Folglich gilt
                                                    tan (β/2) = tan 45° ∙ cos ψ ,                                              

                                                                                    cos ψ = tan (β/2)

Laut Abb. 3 gilt     β/2 = 45° - |α|  , da aber hier immer  α < 0  , gilt     β/2 = 45° + α     , 

folglich                                                                        cos ψ = tan (45° + α) .                                                  (2)
 
Mit  tan α = v/c    folgt                                                 cos ψ = tan (π/4 + arctan (v/c))   

bzw.                                                                             ψ = arccos [tan (π/4 + arctan (v/c))]     .                                (3)
 
Aus Gl. 2 folgt mit dem Additionstheorem des Tangens 
                                                                                     cos ψ = (1 + tan α) / (1 – tan α)

und mit  tan α = v/c                                                      cos ψ = (1 + v/c) / (1 – v/c)

bzw.                                                                             ψ = arccos [ (1 + v/c) / (1 – v/c) ]                (mit v < 0) .                (4)                         
 

Für entgegengesetzt gleiche Geschwindigkeiten u und v, also  u = -v  folgt aus der Punktsymmetrie der Arcustangensfunktion 
                                                                                     arctan (u/c) = -arctan (v/c)        

und daraus                                                                               ψ(u) = φ(v)      .

Zu entgegengesetzt gleichen Geschwindigkeiten gehören gleiche Drehwinkel.   
 



Literatur 

 
[1] Metzler Physik, J.B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung, Stuttgart, 1988, S. 348
[2] Fünfdimensionale Physik - Relativistische Addition von Geschwindigkeiten im R5 (roland-sprenger.de)