Relativistische Geschwindigkeiten und Dimensionen

Dipl.-Phys. Roland Sprenger, Herford 18.04.2024

Inhalt

Photonen sind für den Beobachter zweidimensional. Die Minkowski-Fläche eines sehr dünnen bewegten Stabes vollführt eine Drehung innerhalb der x-t-Ebene und gleichzeitig eine Drehung in eine fünfte Dimension.

Abschnitte:

1. Zwei Dimensionen bei Objekten mit Lichtgeschwindigkeit

2. Der implizite Satz des Pythagoras

3. Drehung in der x-t-Ebene

4. Drehung in die fünfte Dimension

5. Erhaltung der Minkowski-Fläche und der Masse

6. Zusammenfassung und Ausblick

1. Zwei Dimensionen bei Objekten mit Lichtgeschwindigkeit

Die relativistische Längenkontraktion lässt die im Bezugssystem S beobachtete Länge l eines mit der Geschwindigkeit v bewegten Stabes, welcher in seinem Ruhsystem S´ die Länge l´ hat, in Bewegungsrichtung schrumpfen – und zwar entsprechend der Formel

l = l´ √ (1 - v²/c²) .

Bewegt sich ein Körper mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c, gilt also v = c, so folgt daraus, dass seine Länge in Bewegungsrichtung im Bezugssystem S Null ist:

l = l´ √ (1 - 1) = 0 .

Das bedeutet, dass Photonen und andere mit Lichtgeschwindigkeit bewegte Quanten in ihrer Bewegungsrichtung unendlich dünn sind. Es handelt sich also um reale zweidimensionale Objekte in unserem dreidimensionalen Raum.

Dem Relativitätsprinzip folgend sind umgekehrt auch die Sterne und Galaxien des Universums von einem Photon aus beobachtet zweidimensional. Denn egal, wie groß die Länge l´ ist, seien es auch Millionen Lichtjahre, der Faktor Null kontrahiert sie auf die Länge Null (l = l´∙ 0 = 0) - und zwar bei jeder beliebigen Bewegungsrichtung eines Photons.

Dabei vergeht wegen der Zeitdilatation

Δt = (Δt´) / √ (1 - v²/c²)

in den mit Lichtgeschwindigkeit vorbeifliegenden Galaxien in S´ keine Zeit, denn mit

Δt´ = Δt √ (1 - v²/c²)

und v = c folgt Δt´= Δt √ (1 - 1) = 0 für alle Zeitintervalle Δt in S, wie groß sie auch seien. Es gibt in den Galaxien von einem Photon aus gesehen keine Zeit, alles steht still. Zeit vergeht nur im Bezugssystem des Photons, in seinem Ruhsystem (S wenn der Beobachter dort ist).
Auch dieses Phänomen ist dem Relativitätsprinzip zufolge wieder symmetrisch: Aus unserem Laborsystem betrachtet gibt es für die zweidimensionalen Photonen keine Zeit, nur einen unendlich kurzen Zeitpunkt ihrer Zeit t´. D.h. zwischen ihrer Entstehung oder Emission und ihrer Absorption vergeht keine Zeit t´. Auch wenn sie in einer Milliarden Lichtjahre entfernten Galaxie emittiert und in unserem Teleskop absorbiert werden, geschieht für sie beides gleichzeitig und durch die Längenkontraktion auch am gleichen Ort. D.h. für Objekte mit Lichtgeschwindigkeit ist der dreidimensionale Raum eine Ebene.

Die Relativität der Masse hat entsprechende Konsequenzen: Aus

m = (m₀) / √ (1 - v²/c²)

oder m₀= m √ (1 - v²/c²) folgt, dass die Ruhemasse von mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c bewegten Körpern immer Null sein muss. Dies gilt wieder nicht nur für Photonen im Laborsystem sondern umgekehrt auch für Galaxien im Ruhsystem eines Photons. D.h. zur Natur der Ruhemasse – und wegen E = m c² auch der Energie – gehört, dass sie verschwindet, wenn sie im vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum aus einem mit c bewegten Bezugssystem betrachtet wird.

Zusammengefasst lässt sich feststellen: Photonen und Galaxien sind zueinander symmetrisch bzgl. Ruhemasse, Zeit und Zahl der Dimensionen. Und zwar ist das jeweils mit c bewegte Objekt zweidimensional, zeitlos und ohne Ruhemasse.

Dass in den mit c bewegten Objekten keine Zeit vergeht, bedeutet, dass sie sich in der vierdimensionalen Raumzeit auf derselben Zeitkoordinate aufhalten – und zwar unabhängig von ihrer Bewegungsrichtung im Raum. Und sie befinden sich gleichzeitig an allen Orten ihrer Bahn bzw. alle Orte fallen zusammen, z.B. die Orte der Emission und Absorption eines Photons.
Der Widerspruch, dass aus einer Bahn in S mit veränderlichen Orts- und Zeitkoordinaten in S´ konstante Koordinaten werden, kann nur durch Projektion oder Drehung in einer höherdimensionalen Welt aufgelöst werden. In Abb. 1 wird dargestellt, wie in einem fünfdimensionalen Raum der genannte Widerspruch verschwinden kann.

Abb. 1: In diesem erweiterten Minkowski-Diagramm stellt die schwarze Strecke die Bewegung eines Photons dar, wobei sich in S seine Koordinaten x und ict verändern. Die grünen Achsen liegen in der Zeichenebene, die rote w-Achse steht senkrecht auf dieser. Im grünen x´-ict´-Koordinatensystem gilt für das Photon t´ = 0, nur noch die Ortskoordinate x´ ändert sich. In der w-ict´-Ebene ergibt die orthogonale Projektion der schwarzen Strecke einen Punkt mit den Koordinaten (0|0). Diese Ebene ist das Ruhsystem des Photons.

2. Der implizite Satz des Pythagoras

Im Folgenden wird begründet, dass es bei relativistischen Geschwindigkeiten zu einer Drehung innerhalb der x-ict-Ebene (bzw. auch innerhalb einer x-t-Ebene) mit gleichzeitigem Herausklappen in die fünfte Dimension kommt.

Ein sehr dünner Stab der Länge l werde mit der relativistischen Geschwindigkeit v in seiner Längsrichtung gleichförmig bewegt.

Aus l = l´ √ (1 - v²/c² )

folgt l²= l´² (1 - v²/c² ) = l´²- (l´ v/c)²

und daraus l²+ (l´ v/c)²= l´² , (1)

also der Satz des Pythagoras. Diesen kann man als Drehung des Stabes in der x-t-Ebene um einen Winkel φ interpretieren, s. Abb. 2:

Abb. 2: Die Längen l und l´ eines mit der relativistischen Geschwindigkeit v in seiner Längsrichtung bewegten Stabes

Der Stab hat also in einem vierdimensionalen Koordinatensystem die Komponente l´v/c. Es liegt nahe, dass sie sich in Richtung der Zeitachse (und nicht der w-Achse) erstreckt, weil außerdem bei den Zeiten eine entsprechende Komponente mit demselben Winkel φ auftritt (s. Abb. 3). Für den Drehwinkel gilt

sinφ = v/c (2)

sowie cosφ = l/(l´) .

Für Photonen mit v = c folgt sinφ = 1 , d.h. φ = 90° .

Die Stablänge l im Laborsystem ist die Projektion von l´ in Richtung der Zeitachse.

Aus Δt´ = Δt √ (1 - v²/c²) folgt (Δt´)²= (Δt)²∙ (1 - v²/c²) = (Δt)²- (Δt∙v/c)²

und daraus (Δt´)²+ (Δt∙v/c)² = (Δt)² , (3)

also wieder der Satz des Pythagoras, diesmal aber für ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse im Laborsystem S liegt, s. Abb. 3.

Abb. 3: Die Zeiten Δt und Δt´, in welchen sich der Stab um seine Länge l vorwärts bewegt, in S und S´

Es gilt wieder Gl. 2: sinφ=v/c sowie cosφ=(Δt´)/Δt .

Die Drehwinkel sind folglich gleich. Die Projektionsrichtung und -Orientierung ist aber anders als in Abb. 2, weil der rechte Winkel nun an der gestrichenen Größe liegt.

Für die relativistische Masse liefert m₀= m √ (1 - v²/c²)

m₀²= m² (1 - v²/c² ) = m²- (m v/c)² ,

also m₀²+ (m v/c)²= m² , (4)

wieder gemäß dem Satz des Pythagoras, mit der Hypotenuse im Laborsystem S, s. Abb. 4.

Abb. 4: Die Massen m₀ und m eines mit relativistischer Geschwindigkeit bewegten Körpers in seinem Ruhsystem und im Bezugssystem eines Beobachters

Mit sinφ = v/c handelt es sich wieder um denselben Winkel φ . Außerdem gilt

cosφ = m₀/ m (5)

und somit auch   m₀/ m = (Δt´) / Δt   (6)

und   cosφ = √ (1 - v²/c²) .     (7)

3. Drehung in der x-t-Ebene

Diese Ergebnisse werden wie folgt zusammengefasst:

Ein ruhender sehr dünner Stab der Länge l, der eine Zeit Δt lang beobachtet wird, wird in einem x-t-Diagramm durch eine rechteckige Fläche (Minkowski-Fläche) dargestellt, s. Abb. 5. Der eindimensionale „Stab“ wird dadurch zu einem zweidimensionalen Objekt des Raum-Zeit-Kontinuums.

Abb. 5: Die graue Fläche enthält alle Koordinatenpaare eines ruhenden Stabes der Länge l im Zeitraum Δt , stellt diesen also dar.

Wenn das Rechteck im mathematisch positiven Sinn um den Ursprung um den Winkel φ unter Beibehaltung des Punktes (0 | Δt) gedreht wird (s. Abb. 6) erscheinen die beiden rechtwinklige Dreiecke aus Abb. 2 und 3 für die Längen und Zeiten in S und S´. Die Strecken Δt´ und l´ der beiden Dreiecke definieren ein zweites Rechteck (grün dargestellt), dessen Koordinatenpaare (der ganzen Fläche) den Stab in seinem Ruhsystem darstellen, wenn er in S mit v = c ∙ sin φ gleichförmig in Längsrichtung bewegt ist.

Abb. 6: Bewegt sich der in S bisher ruhende, durch das graue Rechteck dargestellte Stab mit v = c sin φ in seiner Längsrichtung, so wird er in seinem Ruhsystem S´ durch das grüne Rechteck mit den Seitenlängen l´ und Δt´ dargestellt.

Beobachtet man denselben Stab zu gleichen Zeiten Δt bei unterschiedlichen konstanten Geschwindigkeiten, so ändert sich der Winkel φ und die Länge l' in seinem Ruhesystem bleibt konstant. Für v = 0 gilt φ = 0 und l' = l . Konstantes l' bedeutet also l' = l für alle Geschwindigkeiten bzw. Winkel φ, siehe Abb. 7. Die konstante Beobachtungszeit Δt bewirkt eine Verkleinerung der Minkowski-Fläche bei wachsendem φ .

Abb. 7: Verkleinerung der Fläche, die einen Stab bei immer höheren konstanten Geschwindigkeiten darstellt. Δt und l´ sind konstant. Auf der x-Achse wird die Längenkontraktion sichtbar.

Der Flächeninhalt hängt folgendermaßen vom Winkel ab:

Für alle Flächen gilt A´ = l´ ∙ Δt´ mit konstantem l´ = l , also A´ = l ∙ Δt´

A´ = l ∙ Δt √ (1 - v²/c² )

Die Fläche für φ = 0° ist die Fläche A mit v = 0 und A = l ∙ Δt (blaue Fläche in Abb. 7).

A´ = A √ (1 - v²/c² )

Aus Gl. 7 folgt A´ = A ∙ cos φ (8)

Für Photonen mit v = c , also φ = 90° , folgt A´= 0 .

4. Drehung in die fünfte Dimension

Gleichung 8 und Abbildung 7 werden nun so interpretiert, dass die Flächen A´ orthogonale Projektionen der Fläche A , welche sich um die jeweilige x´-Achse in eine fünfte Dimension (w-Achse) gedreht hat, auf die x-t-Ebene sind (s. Abb. 8 und 9). Im Fall von v = c , z.B. also Photonen, steht dann die Fläche A orthogonal auf der x-t-Ebene, wobei ihre Seite l´ auf der t-Achse liegt.

Abb. 8: Ein dreidimensionaler Raum mit den Richtungen x, t und w (5. Dimension); darin die Fläche A in Seitenansicht und ihre Projektion in w-Richtung auf die x-t-Ebene; Es gilt Gl. 8.

Die Fläche A´ ist um denselben Winkel φ in die 5. Dimension hochgeklappt, um den die Fläche A in die Fläche A´ gedreht wurde. Drehung und Klappung geschehen gemeinsam jeweils um den Winkel φ, s. Abb. 9.

Abb. 9: Die Fläche A´ als Projektion der Fläche A´´ aus der 5. Dimension auf die x-t-Ebene in Richtung der w-Achse und der gestrichelten blauen Linien; Drehung mit gleichzeitiger Klappung der Fläche A in die 5. Dimension bei der Geschwindigkeit v = c sin φ eines Stabes der Länge l .

Auch bei Lichtgeschwindigkeit verschwindet eine Länge l trotz Längenkontraktion im Laborsystem auf Null also nicht, sie wandert mit einer Dreh-Klappung in die fünfdimensionale Raumzeit. Dabei verläuft die x´-Achse in Richtung der t-Achse und die t´´-Achse in Richtung der w-Achse. Ob der Charakter einer Dimension räumlich oder zeitlich ist, ist also relativ und hängt von der Geschwindigkeit ab. Bei allen Geschwindigkeiten zwischen 0 und c ist er sowohl räumlich als auch zeitlich.

5. Erhaltung der Minkowski-Fläche und der Masse

Abb. 10: Projektion der Flächen A´ und A´´ auf die t´-w-Ebene in Richtung der x´-Achse; beide haben die „Höhe“ l.

Aus dem rechtwinkligen Dreieck in Abb. 10 geht hervor:

A´ : A´´ = cos φ

und mit Gl. 6 A´´ = A´ : cos φ = A ∙ cos φ : cos φ

d.h. A´´ = A (9)

Während der ganzen Dreh-Klappung bleibt der Flächeninhalt von A erhalten bzw. konstant, was zu einer vollständigeren Weltdarstellung passt. A´ wird gegenüber A bei wachsendem Winkel um cos φ kleiner, während gleichzeitig A´´ gegenüber A´ um cos φ größer wird, was einander ausgleicht. Während der Dreh-Klappung verschieben sich die beiden rechten Eckpunkte von A in Abb. 9 auf Spiralen auf dem Zylinder mit dem Radius l und der w-Achse als Mittelachse zu den vorderen oberen Eckpunkten des rot-blauen Quaders.

Die Dimension von A ist ms. . Die Erhaltung von A erfordert, dass auch die Dimension erhalten bleibt. Dann muss auch die t´-Achse die Klappung in die 5. Dimension mitmachen. In Abb. 9 ist sie als t´´-Achse eingezeichnet.

Dass für die Fläche A ein Erhaltungssatz gilt, ist insofern nur natürlich, als sie einen Körper (in einer Zeit Δt) repräsentiert, auch wenn er nur „eindimensional“ (ein „sehr dünner“ Stab) ist. Bei einem dreidimensionalen Körper werden die Längen in y- und z-Richtung durch die Bewegung nicht verändert. Als Ergebnis der Dreh-Klappung der x-Länge l befindet er sich in einem x´´-y´´-z´´-Raum, dessen y´´- und z´´-Achsen orthogonal zur x´´-t´´-Ebene stehen (mit x´´ = x´), also in der fünfdimensionalen Raumzeit, was weder zeichnerisch darstellbar noch vorstellbar ist.

Laut Gl. 6 verhält sich die Masse so wie die Zeit und aus Gl. 5 folgt

m₀= m ∙ cos φ .

Nennt man die Ruhemasse m₀ in S´ m´ (m´ := m₀) , so ist die Masse in S´´ m´´. Da die Zeit Δt´ beim Wechsel von S´ zu S´´ laut Abb. 10 um den Faktor cos φ auf Δt´´ = Δt´ / cos φ gestreckt wird und die Masse sich wie die Zeit verhält, gilt ebenso m´´ = m´ / cos φ und damit

m´´ = (m ∙ cos φ) / cos φ ,

also m´´ = m (10)

Bei der Dreh-Klappung in der fünfdimensionalen Raumzeit bleibt die Masse eines Körpers unverändert. Die relativistische Masse gibt es nur in der vierdimensionalen Raumzeit.

Wegen E=mc² bleibt auch die Energie des Körpers der Masse m bei der Dreh-Klappung erhalten.

6. Zusammenfassung und Ausblick

Die dargestellten Schlussfolgerungen und Interpretationen weisen auf zweidimensionale und fünfdimensionale Aspekte der Welt hin. Zwar treten merkbare Effekte erst bei relativistischen Geschwindigkeiten auf, aber im Prinzip gibt es die Dreh-Klappung in die 5. Dimension bei jeder Geschwindigkeit. Da in der Welt alles in Bewegung ist, z.B. bei Wärmebewegung von Molekülen oder Elektronen in Atomen (mit ca. 1/100 c), ist die Welt fünfdimensional, wenn auch nur in einer „dünnen Schicht“. Möglicherweise lassen sich dadurch Orbitale, Wahrscheinlichkeitswellen, die spektrale Rotverschiebung des Galaxienlichtes und andere Phänomene erklären. In [1] wird anhand der 5. Dimension das Paradox aufgelöst, dass die resultierende Geschwindigkeit zweier Lichtgeschwindigkeiten wieder die Lichtgeschwindigkeit ist, und es wird die Geschwindigkeitsaddition in der fünfdimensionalen Raumzeit beschrieben. Durch all dies wird die Hypothese von Theodor Kaluza von der Existenz einer fünften Dimension [2] unterstützt.

Literatur

[1] R. Sprenger: Relativistische Addition von Geschwindigkeiten im R5. In: DOI 10.5281/zenodo.10966275, www.zenodo.org

[2] T. Kaluza: Zum Unitätsproblem der Physik. In: Sitzungsberichte Preußische Akademie der Wissenschaften, 1921, S. 966–972, www.archive.org.