Fünfdimensionale Physik

Universum ohne Expansion und Urknall

Dipl.-Phys. Roland Sprenger, Herford                                                                                                                                         25.06.2024               


Inhalt


Dem Standard-Modell der Kosmologie wird das Modell eines in einer fünfdimensionalen Raumzeit gekrümmten Universums entgegengestellt. Die Rotverschiebung der Galaxien-Spektren wird durch die Krümmung erklärt; die Expansion des Universums und der Urknall entfallen. Das Universum ist demnach eine vierdimensionale Hyperkugelsphäre in der fünfdimensionalen Raumzeit. Deren Radius wird aus den Entfernungen von Standardkerzen berechnet.
 
Abschnitte:
1. Kritik des Standardmodells der Kosmologie
2. Erklärung der Rotverschiebung durch Krümmung
3. Herleitung von Formeln
4. Der Radius des Universums
5. Weitere Berechnungen
6. Alternative zur beschleunigten Expansion
7. Vorzüge der Krümmungs-Hypothese gegenüber der Urknall-Theorie 
8. Zusammenfassung und Ausblick
    Anhang
 

1. Kritik des Standardmodells der Kosmologie
 

Die weitestgehend anerkannte Urknall-Theorie weist einige Schwächen und Widersprüche auf.  Die erste Schwäche ist, dass die sogenannte Inflation postuliert werden musste, weil man in relativ nahen Kugelsternhaufen ältere Sterne als die in den entferntesten, kurz nach dem Urknall entstandenen Galaxien fand. Deshalb wird angenommen, dass der Weltraum sich in den ersten 10-32 s mit vielfacher Überlichtgeschwindigkeit ausgedehnt hat, quasi als Fortsetzung des Urknalls, und ebenso unerklärt wie dieser selbst. Ein mysteriöses Inflatonfeld wird als Ursache benannt. 
 
Laut Allgemeiner Relativitätstheorie ist für die Ausdehnung des Weltraumes selbst keine Energie erforderlich, da Körper dabei an ihrem Ort bleiben, sofern man von deren Eigenbewegung absieht. Das ist dann aber unabhängig davon, ob die Ausdehnung gleichförmig oder beschleunigt erfolgt, wie z.B. auch in der Endphase der Inflation. Dann erscheint es widersprüchlich, dass als Ursache der derzeitigen, 1998 entdeckten beschleunigten Expansion eine ebenso mysteriöse sog. Dunkle Energie postuliert wird. 
 
Weiter stellt sich die Frage, woher die Energie des Urknalls überhaupt kommt bzw. ob die Energie und damit der Urknall und das ganze Universum aus „Nichts“ entstanden sind. Die Erklärung einer Entstehung von „Etwas“ aus „Nichts“, wozu ein „Urknall“ herausfordert, ist aber unmöglich. Denn beide Begriffe sind absolute, dialektische Gegensätze: „Etwas“ ist nicht „Nichts“ und „Nichts“ ist nicht „Etwas“; Existenz ist als das Gegenteil von Nichtexistenz definiert und umgekehrt. Die Frage nach der Ursache des Urknalls ist ungeklärt. In der Makrophysik hat bisher jedes Ereignis eine Ursache. 
  
Bei der Betrachtung der Vergangenheit des Universums dessen Kontraktion linear bis zu einem dimensionslosen Punkt fortzusetzen, wie es vor der Einführung der Inflation der Fall war und letztlich auch danach beibehalten wurde, ist ziemlich willkürlich. Wenn die Expansion z.Zt. beschleunigt erfolgt, war dies wahrscheinlich auch in der Vergangenheit der Fall. Dabei ist die Schrumpfung zur Singularität nur eine Möglichkeit von mehreren, z.B. einer Schwingung oder einem asymptotischen Verlauf aus einer endlichen Anfangsgröße (ohne Inflation), die auch sehr groß sein könnte. Unendlich kleine Objekte sind keine Objekte der Physik. Mit der Singularität, in welcher in Energieform ja die fast unendlich große Masse aller Milliarden Galaxien enthalten gewesen sein sollte, wurde ein Mysterium in die Physik eingeführt. Die genannten Mysterien befriedigen aber wohl ein Bedürfnis religiöser Art, was der Hauptgrund für die Entstehung, Modifizierung und Beibehaltung der Urknalltheorie sein dürfte.
 
Mit dem James-Webb-Weltraumteleskop wurden kürzlich (2025) Beobachtungen gemacht, welche der Urknalltheorie widersprechen, nämlich größere frühe Galaxien als das Modell vorhersagt und Sauerstoff in der derzeit entferntesten Galaxie Jades-GS-z14-0, obwohl schwere Elemente so früh noch nicht entstanden sein können hätten. 
 
Die kosmische Hintergrundstrahlung gilt als Beweis des Standardmodells der Kosmologie. Ihre Rotverschiebung  zeigt eine Polarisierung mit mehr und weniger Rotverschiebung [1], woraus man anhand des Dopplereffektes die Geschwindigkeit des galaktischen Zentrums gegenüber der kosmischen Hintergrundstrahlung zu 552 km/s und die der lokalen Galaxiengruppe zu sogar 627 km/s berechnet hat. Diese Werte sind unerklärlich hoch. Außerdem bildet die kosmische Hintergrundstrahlung ein Bezugsobjekt, gegenüber dem für jedes Objekt im Universum die Richtung und der Betrag der Geschwindigkeit eindeutig angegeben werden kann. Diese absoluten Angaben widersprechen der bisherigen Relativität des Weltraumes. Das Ruhesystem der kosmischen Hintergrundstrahlung ist vor allen anderen Bezugssystemen ausgezeichnet und definiert einen ruhenden, absoluten Weltraum. 
 
Die Urknall-Theorie ist so mysteriös, unvollkommen und widersprüchlich, dass andere Versuche zur Erklärung der Rotverschiebung und andere Modelle des Kosmos gerechtfertigt sind.
 
 

2. Erklärung der Rotverschiebung durch Krümmung


Die Artikel „Relativistische Addition von Geschwindigkeiten im R5“ [2] und „Relativistische Geschwindigkeiten und Dimensionen“ [3] geben Hinweise auf die Existenz einer fünften Dimension der Raumzeit. In der hier dargestellten Hypothese wird behauptet, dass das dreidimensionale Universum in der weiteren Dimension gekrümmt ist und zwar zunächst überall mit konstanter Krümmung. Dann entspricht es einer Kugeloberfläche; es ist eine vierdimensionale Hyperkugelsphäre. Es wird angenommen, dass die Rotverschiebung durch diese Krümmung zustande kommt. Dann braucht man zur Erklärung der Rotverschiebung die Expansion des Weltraums nicht; sie entfällt in diesem Modell. Ferner wird naheliegenderweise angenommen, dass Licht sich in dieser fünfdimensionalen Raumzeit geradlinig ausbreitet. Dadurch ergibt sich im dreidimensionalen Universum eine größere Wellenlänge, s. Abb. 1, mithin eine Rotverschiebung.
 
Um die Ausbreitung des Lichtes darzustellen, braucht man eine Zeitachse. Reduziert man die drei räumlichen Dimensionen in der Zeichnung wie üblich auf eine, um die Zeitachse und die w-Achse der fünften Dimension auch darstellen zu können, so werden die konzentrischen Kugelwellen um die Lichtquelle zu Kreiswellen. In Abb. 1 liegen sie auf einem Kegelmantel, dessen Achse orthogonal zur x-w-Ebene durch die Lichtquelle im Punkt A verläuft. Auf diesem Kegelmantel hat die Bahn der Lichtteilchen von A (mit negativer t-Koordinate) zum Beobachter im Ursprung Spiralform. Die orthogonalen Projektionen der Wellenlängen auf der Spirale auf die x-w-Ebene sind länger als deren Projektionen von der geradlinigen Verbindung zwischen Lichtquelle und dem Ursprung auf die x-w-Ebene. Da das Universum sich wie angenommen nicht ausdehnt, ist der Radius der Hyperkugel konstant. In Abb. 1 hat der Kreis mit dem Bogen b zu allen Zeiten und für alle Galaxien denselben Radius; er ist die orthogonale Projektion des Zylinders mit dem Radius R und der Mittelachse durch den Punkt M auf die x-w-Ebene und stellt einen Teil des im vierdimensionalen Hyperraum gekrümmten Universums dar.
                                                
                                                  
Abb. 1: Projektion der geradlinigen Ausbreitung des Lichtes einer Lichtquelle im Punkt A zum Beobachter im Ursprung des x-w-t-Raumes; λ nicht maßstabsgerecht

 

3. Herleitung von Formeln


Gegeben bzw. messbar sind die Frequenzen f und f0 , woraus sich mit  c = λ ∙ f  die Wellenlängen  λ  und λ0 ergeben, sowie die rotverschiebungsunabhängigen Leuchtkraftentfernungen b relativ naher Galaxien. Daraus lassen sich die jeweiligen Winkel ζ , der Radius R der Hyperkugel und mit jenem dann auch die Entfernungen b (Bogenlänge) ferner Galaxien berechnen.  
 
Die Rotverschiebung z ist definiert als                 z = Δλ / λ0 = (λ - λ0) / λ0 = λ / λ0 - 1 .

Daraus folgt                          λ0 / λ = 1 / (z + 1)                                                                                                     (1)

Da die Wellenfronten beim Beobachter, am Ursprung, im Bereich einiger Lichtjahre fast eben bzw. in Abb. 1 ebenso wie die Wellenlängen fast geradlinig sind und der Bogen sich dort noch kaum von der x-Achse abhebt, befindet sich dort eigentlich ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem in sehr guter Näherung gilt                              

                                                                                 cos ⁡η = λ0 / λ                 .

Der Winkel zwischen einer Tangente und einer vom Berührungspunkt ausgehenden Sekante ist immer halb so groß wie der Mittelpunktswinkel der Sekante, also 
                                                                                      η = ζ/2     .

                                                                                cos η = cos (ζ/2) .

Daraus folgt                                     ζ/2 = arccos (λ0/λ)

und                                         ζ = 2 arccos (λ0/λ) .                                                                          (2)

Aus der Definition des Winkels folgt                        R = b / ζ                                                                                                             (3)


4. Der Radius des Universums
 

Aus der Rotverschiebung lässt sich mit (1) und (2) der Mittelpunktswinkel  ζ  zum Ort einer Galaxie berechnen. 

In den Informationen über Galaxien im Internet, speziell bei Wikipedia, werden ihre Entfernungen immer als „Hubbledistanzen“ angegeben, also unter Berücksichtigung der angenommenen Expansion des Weltraumes. Nur in wenigen Fällen wird auch eine „rotverschiebungsunabhängige Entfernungsschätzung“ angegeben, also eine Entfernungsmessung, die auf Helligkeitsmessungen von Standardkerzen – meist Supernovae vom Typ Ia oder auch Cepheiden – in den betreffenden Galaxien beruhen, d.h. ohne Berücksichtigung einer Expansion. Die Hubbledistanz ist deshalb prinzipiell größer als die rotverschiebungsunabhängige Entfernung. 
 
Bei der rotverschiebungsunabhängigen Entfernung oder Leuchtkraftentfernung handelt es sich um die Bogenlänge b, denn es ist die Entfernung im gekrümmten Universum. Aus b und ζ kann mit (3) der Radius R des hyperkugelförmigen Universums berechnet werden.
 
In Tabelle 1 wird aus den Rotverschiebungen und den rotverschiebungsunabhängigen Entfernungsangaben von vier Galaxien jeweils der Radius R berechnet, woraus danach der Mittelwert gebildet wird.
                                                  
                                                 
Tabelle 1: Berechnung des Radius R des Universums im R4 
 
Als Mittelwert mit Streuung ergibt sich                              R = (263 ± 21) ∙ 106 Lj .

Die maximale Entfernung einer Galaxie beträgt demnach       (826 ± 66) ∙ 106 Lj .
 

Im Standardmodell überlagern sich die Eigenbewegungen der Sterne, Galaxien und Galaxienhaufen der allgemeinen Expansion des Universums. Die Expansion ist im hier dargestellten Modell durch die allgemeine Krümmung ersetzt. Obwohl es grundsätzlich statisch ist, gibt es aber auch die Eigenbewegungen, die durch den Dopplereffekt ebenfalls zur Wellenlängenänderung beitragen. In kosmischer Nähe kann der Dopplereffekt den Krümmungseffekt überwiegen, so dass es zu einer Blauverschiebung kommen kann wie z.B. bei der Andromedagalaxie mit der Rotverschiebung -0,001001. Deshalb wurde die Galaxie NGC 3034 wegen der relativen Nähe von 11,5 ∙ 106 Lj und dem daraus folgenden minimalen Radius R = 156 ∙ 106 Lj nicht für die Mittelwertbildung verwendet. Bei der Galaxie NGC 4340 wiederum mit zufällig ebenfalls R = 156 ∙ 106 Lj ist die Hubbledistanz mit 40 ∙ 106 Lj kleiner als die mit einer Standardkerze bestimmte Distanz von ca. 60 ∙ 106 Lj.
 
Auch die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit durch große Massen überlagert sich der postulierten generellen Krümmung des Universums. Nach den bisherigen Beobachtungen erscheint das Universum im Großen zwar als flach. Aber das wird daran liegen, dass wir dreidimensionalen Wesen keine Erfahrung mit und daher auch keine Vorstellung von einer vierten räumlichen  Dimension haben  und deshalb indirekte Hinweise darauf - wie die Rotverschiebung und die Addition relatvistischer Geschwindigkeiten [1] - im Rahmen von drei räumlichen Dimensionen deuten. Im Ausblick (Abschnitt 7) wird  vorausgesagt, welche zukünftigen Beobachtungen einem flachen Universum widersprechen dürften.

Im 2. Abschnitt wurde eine konstante Krümmung des Universums angenommen. Wenn zukünftige Beobachtungen bzw. Messungen dem widersprechen, könnte die Form des Universums von der einer Hyperkugel abweichen.  Die Kombination von Krümmung in einer fünften Dimension und Expansion wird in dieser Hypothese aber nicht in Betracht gezogen.   



5. Weitere Berechnungen


Mit dem berechneten Radius R lassen sich nun auch die Entfernungen b von so weit entfernten Galaxien, dass ihre Entfernungen nicht aus Messungen an Supernovae vom Typ Ia errechnet werden können, bestimmen. Z. B. ergibt sich für die 2022 mit dem James-Webb-Weltraumteleskop entdeckte Galaxie GLASS 12 mit z = 12,4 und der Hubbledistanz 13,6 ∙109  Lj aus (1) und (2) der Winkel  ζ = 2,992 = 171,4°. Aus (3) folgt dann
                                                          b = 787 ∙106  Lj ,
was nur 5 % unter der erwarteten maximalen Entfernung von Galaxien von 826 ∙ 106 Lj liegt. Die Hubbledistanz ist wegen der zugrunde gelegten Expansion 17-mal größer.

Der Umstand, dass xA , die x-Komponente des Punktes A, für ζ > 90° wieder kleiner wird, bedeutet, dass xA die Entfernung in einem nur gedachten, rein mathematischen ungekrümmten dreidimensionalen Raum ist. Er unterscheidet sich vom realen gekrümmten Weltraum auf den ersten Millionen Lichtjahren kaum wahrnehmbar, doch in größeren Entfernungen wird der Unterschied fundamental.
 
Von Interesse sind auch der Lichtweg s im R4 und die Koordinaten der Punkte M und A (s. Abb. 1). In Tabelle 2 sind 4 der am frühesten entdeckten und somit nahegelegensten und 4 der erst kürzlich entdeckten, entferntesten Galaxien aufgeführt. Bei ersteren würde die Berechnung von s und wA mithilfe des Mittelwertes R zu fehlerhaften Abweichungen führen; deshalb werden im Folgenden dafür Formeln hergeleitet, die von b und ζ abhängen. Bei den fernen Galaxien ist b nicht gegeben, darum werden jeweils entsprechende Formeln in Abhängigkeit von R hergeleitet. 
 
 
Die Entfernung b einer fernen Galaxie folgt aus der Definition des Winkels zu
                                                   b = R ∙ ζ                                                                                                         (4)

Wenn wie in Abb. 1 die y- und z-Komponenten des Lichtweges 0 sind, gilt im Dreieck mit dem Eckpunkt M und den Seitenlängen R, R und s
                                                          s2 = R2 + R2 - 2 R R cos⁡ ζ = 2 R2 - 2 R2 cos ⁡ζ = 2 R2 (1 - cos ⁡ζ )

Also gilt dann                                           s = R √ (2 - 2 cos ⁡ζ )                                                                  (5)
  
Für den Winkel ζ = π folgt                                   s = 2 R         .

Mit    R = b / ζ    folgt aus (5)                                   s = (b / ζ) √ (2 - 2 cos ⁡ζ )                                                          (6)

Wenn der Lichtweg s in Lichtjahren und die Laufzeit t in Jahren angegeben werden, sind die Maßzahlen von s und t gleich.
 
Im unteren rechtwinkligen Dreieck in Abb. 1 gilt               sin⁡ ζ =  xA / R   ,
also                                                                           xA = R ∙ sin ζ .                                                                                        (7) 

Mit (4) folgt                                   xA / b = (sin ζ ) / ζ ,

also                                           xA = b ∙ (sin ζ) / ζ                                                          (8)
 

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Eckpunkten A und M hat die kurze Kathete die Länge R ∙ cos ζ . Die w-Koordinate von A hat dann den Betrag  
                                                                        R - R ∙ cos ζ = R (1 – cos ζ) = (b / ζ) (1 – cos ζ) ,

d. h.                                            wA = - (b / ζ) (1 – cos ζ)                                                                          (9)
  

Mit (4) folgt                                                    wA = - R ∙ (1 – cos ζ) .                                                (10)
 

In der Reihenfolge der Koordinaten x, y, z, w, t haben dann die Punkte A und M die Koordinaten
 
                                                                                           A ( b ∙ (sin ζ) / ζ  | 0 | 0 | - (b / ζ) (1 – cos ζ) )

bzw.                                                    A ( R ∙ sin ζ | 0 | 0 | - R ∙ (1 – cos ζ) )

und                                                    M ( 0 | 0 | 0 | - 263 ∙106  Lj ) .
 
 
In folgender Tabelle werden die mit (4) bis (10) berechneten Daten angezeigt.
                                                  
                                                                                              Tabelle 2: Mittelpunktswinkel, Entfernungen und Koordinaten einiger der nächsten und fernsten Galaxien


6. Alternative zur beschleunigten Expansion

 
Schon in Abb. 1 sieht man, dass die Dehnung der Lichtwellenlänge auf dem Bogen b nicht konstant ist. Deshalb kann die Rotverschiebung z nicht linear von der Entfernung b vom Beobachter im Ursprung abhängen. Im Folgenden wird die Funktion z(b) hergeleitet.
Aus der Definition der Rotverschiebung                              z = Δλ/λ0 = (λ - λ0)/λ0 = λ/λ0 - 1
folgt mit cos⁡η = λ0/λ                                      z = 1/cos⁡(ζ/2) - 1
und mit ζ = b/R                                      z = 1/cos⁡(b/2R) - 1 ,                                                               (11)
also eine nichtlineare Funktion z(b), deren Graph für den oben berechneten Wert des Radius R in Abb. 2 und Abb. 4 (im Anhang) dargestellt ist.
Für die Umkehrfunktion z(b) gilt                              b =2R arccos 1/(z+1)     ,                                                                          (12)
Graph s. Anhang Abb.5. 
 
                                              
Abb. 2: Der rote Graph stellt z(b) für R = 263 ∙ 106 Lj dar, die blaue Gerade eine lineare Näherung, die sich aus der Hubble-Konstanten H0 ergibt (s. Anhang). Die Näherung passt halbwegs innerhalb der Grenzen von 0 bis 55 ∙ 106 Lj für b und 0 bis 0,0055 für z, was mit den Werten in Tabelle 1 in etwa übereinstimmt.
 
Die Rotverschiebung entwickelt sich in diesem Krümmungsmodell also überproportional zur Entfernung. Das entspricht einer beschleunigten Expansionsgeschwindigkeit vH  im Expansionsmodell. Denn mit der dort verwendeten Formel   vH ≈ c ∙ z
und Gl. 11 folgt                         vH ≈  c ∙ [1/cos⁡(b/2R) - 1] ,
eine ebenfalls überproportionale Abhängigkeit der Expansionsgeschwindigkeit von der Entfernung, deren Graph wie derjenige der Funktion z(b) verläuft und im Bereich von 0 bis 200∙ 106 Lj durch eine Parabel mit der Funktionsgleichung   v = 0,564 ∙ b2 angenähert werden kann (s. Anhang, Abb. 3). Möglicherweise handelt es sich bei der beschleunigten Expansion des Standardmodells um eine falsche Deutung des Krümmungseffektes, der in der Funktion z(b) zum Ausdruck kommt.

Da die Entfernungsmessungen von Hubble so falsch waren, dass sich daraus ein achtfach größerer Wert für H0 als der heutige Wert ergab (560 km/s/Mpc, Hubble und Humason [4]), ist denkbar, dass die nichtlineare Abhängigkeit der Rotverschiebung von der Entfernung nicht erkannt und in erster Näherung als linear angesetzt wurde, entsprechend der blauen Geraden in Abb. 2.
 
 

7. Vorzüge der Krümmungshypothese gegenüber der Urknalltheorie

 
Die in der Einleitung genannten Schwächen der Urknalltheorie, des Standardmodells der Kosmologie, entfallen. Die postulierte Inflation des Universums mit Überlichtgeschwindigkeit entfällt in der Krümmungshypothese ebenso wie die Überlichtgeschwindigkeiten entfernter Galaxien mit einer Rotverschiebung > 1, die durch die Expansion zustande kommen sollen.
 
Mit der Expansion entfällt auch die vorgebliche beschleunigte Expansion und damit das Postulat einer Dunklen Energie. Wie in Abschnitt 6 erklärt dürfte anstelle von Beschleunigung die Krümmung die überproportionale Zunahme der Rotverschiebung verursachen.

Ebenso erübrigen sich Erklärungen dafür, dass die Galaxien sich nicht zusammen mit dem Universum ausdehnen (gravitative Koppelung) und dass keine gravitativen Zeiteffekte durch die Ausdehnung auftreten.

Da die Krümmungshypothese einen grundsätzlich statischen Kosmos, ohne Expansion, beschreibt, gibt es keinen Anfang und kein Ende in der Zeit. Somit gibt es auch nicht das geistige Problem, die Existenz des Universums im Unterschied zu seiner Nichtexistenz erklären zu müssen. Denn die Begriffe Existenz und Nichtexistenz sind nur auf Teile des Kosmos anwendbar, nicht auf die Gesamtheit. Nur die Teile entstehen und vergehen und sind dadurch als Begriffe abgrenzbar und somit abbildbar, d.h. existent. Umgekehrt ausgedrückt gibt es für den Kosmos keinen Unterschied zwischen Existenz und Nichtexistenz. Diese Idee hatte schon der griechische Philosoph Parmenides von Elea (515 – 470 v. Chr.). Auch die Idee von Heraklit von Ephesus (535 – 470 v. Chr.), dass keine grundsätzliche Entstehung aus Nichts vorliege, sondern nur ein ewiger Wandel (Panta Rhei) in der Welt herrsche, der zudem der Vernunft zugänglichen Gesetzen, Naturgesetzen, unterliege (dem Logos), ist eine geistige Tradition für die Krümmungshypothese.
 
 

8. Zusammenfassung und Ausblick   


Durch das Konzept einer fünfdimensionalen Raumzeit [2], [3], [5], [6] kann die Rotverschiebung der Galaxien unproblematischer als mit der Urknalltheorie erklärt werden. 

Auf der Grundlage der Krümmungshypothese kann vorausgesagt werden, dass bei weiteren Fortschritten in der weltraumbasierten Teleskoptechnik schließlich Galaxien beobachtbar sein werden, die beim gegenüberliegenden Punkt der Hyperkugel des Universums liegen. Bei Beobachtungen in beliebigen Richtungen müssen dieselben Galaxie-Formationen, nur gedreht, auftreten. Dazu kommt die Voraussage, dass davor keine dunkle Zone existiert, denn dieses Szenario gibt es nur auf der Grundlage der Expansion bzw. Komprimierung in der Urknalltheorie. Folglich kann vorausgesagt werden, dass die daraus resultierenden Grenzen der Rotverschiebung von z = 30 für erste Sterne und z = 1100 für den Beginn der Dunkelzeit (Hintergrundstrahlung z = 1089) überschritten werden werden. Die Grenze von z = 20 für das Ende der Dunkelzeit, woraus ein maximaler Winkel von  ζ = 3,05 = 175° und eine maximale Entfernung von 802∙106 Lj resultieren, ist mit 172,5° und 792∙106 Lj schon fast erreicht. Schon bei Messungen von z > 20 käme die Urknalltheorie ins Wanken.
Im Rahmen der Krümmungshypothese folgt aus (2) für den maximalen Winkel pi

                                                                                                π = 2 arccos (λ0/λ) ,

daraus                                                 λ0/λ = 0

und daraus mit (1)                                                 1 / (z + 1) = 0   ,

was für z gegen Unendlich erfüllt wird. Es sind also sehr große Rotverschiebungen zu erwarten, die höchstens an eine messtechnische Grenze im Spektroskop stoßen werden.
 

Quellenangaben


[1] www.youtube.com: 2022 April 03 - CMB Dipole: Speeding Through the Universe
      Bild der kosmischen Hintergrundstrahlung mit Erklär-Video

[2] www.zenodo.org ; 10966275 eingeben ; DOI 10.5281/zenodo.10966257 ;
     www.roland-sprenger.de: Relativistische Addition von Geschwindigkeiten im R5
 
[3] www.zenodo.org ; 11086561 eingeben ; DOI 10.5281/zenodo.11086561 ;                      
     www.roland-sprenger.de: Relativistische Geschwindigkeiten und Dimensionen

[4] www.astro.uni-bonn.de/~deboer/hubble/hubble.html 
 
[5] T. Kaluza: Zum Unitätsproblem der Physik. In: Sitzungsberichte Preußische
     Akademie der Wissenschaften, 1921, S. 966–972, archive.org.   
        
[6] Klein, O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie. Z. Physik 37,
     895–906 (1926). https://doi.org/10.1007/BF01397481. 
     EOS | Quantum Gravity in the First Half of the Twentieth Century | Oskar Klein (1926):
     Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie (edition-open-sources.org)
 


Anhang


Bestimmung der linearen Näherungsfunktion im Intervall 0 bis 55 ∙ 106 Lj
 
Entsprechend der Näherungsgleichung c z = H0 D 
mit der Entfernung D der beobachteten Galaxie und der Hubble-Konstanten der Gegenwart H0 ≈ 71 (km/s)/Mpc   = 21,8 ( km/s)/(106 Lj)  folgt mit der hier gewählten Bezeichnung der Entfernung b (Bogenlänge)                z = (H0/c)  D = 7,26 ∙ 10-5 ∙ b / (106 Lj) .

 
Fast quadratischer Verlauf von vH von 0 bis 200 ∙ 106 Lj

                                               
Abb. 3: Die Graphen der Funktion  v = 300000 [1/cos⁡(b/526) -1]  (rot, b in 106 Lj, R = 263 ∙ 106 Lj) und   der Näherungs-Parabel              v = 0,564 ∙ b2 (schwarz) stimmen im Intervall von 0 bis 200 ∙ 106 Lj gut überein.

 

Verlauf von z(b) im ganzen Definitionsbereich

                                               
Abb. 4: Der Graph von z(b) (rot) von 0 bis zur maximalen Entfernung von Galaxien  π R = 826 ∙ 106  Lj 

                                                           
Abb. 5: Der Graph von b(z) mit der Entfernung b einer Galaxie (Bogenlänge) und ihrer Rotverschiebung z ; lineare Näherung für z < 0,13 möglich; Messungen mit z > 0,13 führten zur Annahme der beschleunigten Expansion.