Fünfdimensionale Physik

Relativistische Dynamik und Energie im R5

Roland Alfred Sprenger                                                                               24.03.2026


Inhalt

 
Die kinetische Energie der Bewegung eines relativistisch bewegten Körpers im vierdimensionalen Raum wird angegeben und die relativistische Massenzunahme wird durch die Zunahme der vierdimensionalen Geschwindigkeit  ersetzt. Die Existenz von Ruhemasse und das Wesen der Zeit werden erklärt.
Abschnitte:
1. Einleitung 
2. Impuls, Masse und Energie im vierdimensionalen Raum
3. Die Invarianz von Gesamtenergie und Gesamtimpuls
4. Kraft und Beschleunigung
5. Energie, Masse und Zeit
6. Zusammenfassung und Ausblick
Anhang

1. Einleitung
 
Die in [1] dargestellte Hypothese, dass sich relativistisch bewegte Körper in einem vierdimensionalen Hilfsraum bewegen, führt zu der Frage, ob mit der Bewegungskomponente in Richtung der vierten Dimension auch Energie verbunden ist. Scheinbar wurde bisher noch keine Energie gemessen, die in einer vierten Dimension auftritt. Andererseits stellt sich die Frage, ob die Zunahme der Masse mit der Geschwindigkeit die Antwort auf die vorherige Frage enthält.
In [1] werden die Gleichungen (6) und (7)
                                                            vw = (γ / c) ∙ vx2                                      (1)

und                                                             vx2 +vw2 = v2                                                          (2)
 
für die Geschwindigkeitskomponente vw in Richtung der vierten Dimension w und für die aus den Komponenten vw und  vx zusammengesetzte Bewegung v hergeleitet. ( in [1] v = v´, da auch die Geschwindigkeit des Ruhsystems S´ des bewegten Körpers.) Außerdem gilt  laut [1] für den Winkel ψ, unter dem sich der Körper in der x-w-Ebene zur x-Achse bewegt die Gleichung (5)

                                                                                        cos⁡ ψ = l / l´ = vx / v , s. Abb. 1
sowie                                         cos⁡ ψ = √ (1 -vx2 / c2 ) = 1 / γ .                                              (3)

                                                   
Abb. 1: Ein Stab der Länge l  bewegt sich mit der relativistischen Geschwindigkeit vx in positiver x-Richtung. Im angenommenen vierdimensionalen Hilfsraum treten dabei laut [1] unter dem Winkel ψ seine Ruhelänge l´  , die Geschwindigkeit v (= v´) seines Ruhsystems und deren Komponente vw in Richtung der vierten Dimension w auf.

 
2. Impuls, Masse und Energie im vierdimensionalen Raum
 
Die relativistische Massenzunahme ist eine reine Beobachtung ohne ursächliche Begründung und daher eigentlich verwunderlich. Sie ist eine naheliegende Deutung des im Beobachtersystem unter Verwendung der Ruhemasse wegen der Zeitdilatation rechnerisch zu kleinen Impulses, weil sonst die Geschwindigkeit größer als die gemessene Geschwindigkeit sein müsste.
Ausgehend von der Impulserhaltung beim Wechsel zueinander relativistisch bewegter Inertialsysteme erklärt eine modernere Interpretation die Impulserhaltung durch die Zunahme der Geschwindigkeit, nicht der Masse:
                                                                                     p = m v = (m0 γ) v = m0 (γ v)

Die Masse m0 bleibt also erhalten. (Man kann m0 durch m ersetzen.)

Mit v = vx folgt                                                      p = m0 (1 / cos ⁡ψ) vx = m0 (v / vx ) vx

                                                                                     p = m0 v (Fettdruck bedeutet Vektor)                                              (4)
 
Demnach trägt die vierdimensionale Geschwindigkeit v den Impuls [3], d.h. die Geschwindigkeit ist tatsächlich größer als die beobachtete Geschwindigkeit, nur eben im vierdimensionalen Raum. Dadurch erhält der bisherige „Hilfsraum“ einen Anschein von Realität.

Dann ist die Annahme gerechtfertigt, dass mit v auch die Gesamtenergie E und die kinetische Energie Ek verbunden sind und dass im dreidimensionalen Raum nur die senkrechte Projektion der Geschwindigkeit auftritt.
 
Mit                                               E = γ m0 c2

folgt für  die kinetische Gesamtenergie der Bewegung mit vx
                                               Ek = γ m0 c2 - m0 c2 = m0 c2 (γ - 1) .

Mit der kinetischen Energie in x-Richtung       Ekx = (1/2) m0 vx2

folgt für die kinetische Energie in w-Richtung               Ekw = Ek - Ekx ,

also                                               Ekw = m0 c2 (γ - 1) - (1/2) m0 vx2 .                                                      (5)

Das ist die in der Einleitung gesuchte Energie der Geschwindigkeitskomponente in Richtung der vierten Dimension w, welche zur Vergrößerung der Geschwindigkeit gegenüber der gemessenen Geschwindigkeit vx führt.
 
 
3. Die Invarianz von Gesamtenergie und Gesamtimpuls
 
Da auch die alte Deutung mit der veränderlichen Masse in vielen Fragen zu wahren Ergebnissen führt, darf dann auch mit deren Formeln 
 
            m = m0 / √ (1 - v2/ c2) = m0 γ       ,         E = m c2         ,         E0 = m0 c2         und          Ek = E - E0

gerechnet werden, wie schon oben. 
 
Mit                                                 γ = m / m0 
 
Folgt aus (3)                                         cos ⁡ψ = m0 / m

und weiter                                         m0 / m = vx / v .

Erweitern mit c2 ergibt                                         E0 / E = vx / v ,                                                         (6)

d.h. die Energien verhalten sich zueinander wie die zugehörigen Geschwindigkeiten und bilden deshalb in Abb. 2 ein den in Abb. 1 dargestellten Dreiecken ähnliches rechtwinkliges Dreieck.

Aus   cos ⁡ψ = vx / v   folgt         cos⁡ ψ = E0 / E , also

                                                                                        E = E0 / cos ⁡ψ ,                                                               (7)

wodurch ein weiterer Hinweis auf die mögliche Realität der vierten Dimension gegeben ist. Der Winkel ψ kann ohne Rechnung aus der Geschwindigkeit vx konstruiert werden, s. Anhang.

                                                           
Abb. 2: Der vierdimensionale geometrische Zusammenhang zwischen Ruheenergie E0, dynamischer Energie E und Impuls p sowie dynamischer kinetischer Energie   Ek = E - E0
 
Die Länge der kurzen Kathete im roten rechtwinkligen Dreieck in Abb. 2 ist |c p| mit dem Impuls aus Gl. 4 p = m0 v = m0 γ vx .

Beweis: 
Im blauen rechtwinkligen Dreieck in Abb.2 gilt für die Geschwindigkeiten
 
                                v2 - vw2 = vx2 mit v = vx / cos ⁡ψ = vx  γ und Gl. 1

                                             ⇒ vx2 γ2 - (γ2 / c2) vx4 = vx2 | ∙ c4 / vx2

                                             ⇒ γ2 c4 - γ2 vx2 c2 = c4

                                             ⇒ m02 γ2 c4 - m02 γ2 vx2 c2 = m02 c4

                                             ⇒ (m0 γ c2)2 - (m0 γ vx c)2 = (m0 c2)2

                                             ⇒ E2 - (c p)2 = E02                                                                      (8)

Das ist  die aus der speziellen Relativitätstheorie bekannte Invarianz von Gesamtenergie und Gesamtimpuls. Dass sie auch aus diesem vierdimensionalen Ansatz folgt, zeigt, dass dieser mit der SRT in Einklang steht und macht die Realität der vierten Dimension noch etwas wahrscheinlicher.
 
Aus Gl. 8 folgt                         E2 = (m0 c2)2 + (c p)2

und mit Gl. 4                         E = √ (m02 c4 + c2 m02 v2) .                                                                      (9)

Das ist die Gesamtenergie in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v im vierdimensionalen Raum. 
 
 
4. Kraft und Beschleunigung
 
In Teilchenbeschleunigern wirkt auf die geladenen Teilchen eine beschleunigende elektrische Kraft, hier in x-Richtung, die deren Impuls erhöht. Es gilt [2]
 
                                     F = dp/dt = d(m0 γ vx)/dt = m0 γ (dvx/dt) + m0 (dγ/dt) vx = m0 γ ax + m0 (γ3 vx ax / c2) vx ,

also                                                F = m0 γ ax (1 + (vx γ / c)2 )                                            (10)

Aufgelöst nach ax folgt daraus                                ax = F / [m0 γ (1 + (vx γ / c)2 ) ]      .                                    (11)

Mit  vx → 0 gilt γ → 1 und  vx γ / c → 0 . Dann gilt näherungsweise   ax = F / m0   , also das 2. Newtonsche Gesetz.  Mit zunehmender Geschwindigkeit  vx nehmen auch v und γ zu und die Beschleunigung nimmt ab. Wirkt die Kraft F in einem Linearbeschleuniger von 3,2 km Länge wie in Stanford, gilt γ → ∞ und damit  ax → 0 , so dass die Grenzgeschwindigkeit c nicht überschritten werden kann, wie dort 1974 nachgewiesen wurde.
 
Schon nach 1 km war die Lichtgeschwindigkeit praktisch erreicht. Die weiterhin wirkende Kraft führt dem Elektron aber weitere Energie zu, die nun nur noch zur Beschleunigung von vw  führt und damit zur Vergrößerung von ψ (s. Abb. 3). Das Teilchen beschreibt deshalb in der x-w-Ebene eine Kurve mit Linkskrümmung. 
 
Für  vx → c gilt laut Gl. 3 ψ → 90°    sowie   γ → ∞   
und daher  vw → ∞  (Gl. 1) und v → ∞  (Gl. 2). 
Abb. 3 verdeutlicht die Lage der Geschwindigkeitsvektoren v für zunehmende  Geschwindigkeiten vx . 
                                                    
                                                         
Abb. 3: Zunahme der Geschwindigkeit v im vierdimensionalen Raum und des Winkels ψ bei steigender Geschwindigkeit  vx  im dreidimensionalen Raum, dargestellt für  vx = 0,5 c;  0,8c ;  0,9c ; 0,99c.

Aus (1) folgt                                            vw = vx2 / √ (c2 - vx2) .                                    (12)

Auf dem zugehörigen Graphen liegen die Pfeilspitzen der Vektoren v , s. Abb. 3 .

 
Im Folgenden wird die Beschleunigung (für a || F ) im vierdimensionalen Raum hergeleitet. 

Für den vierdimensionalen Beschleunigungsvektor gilt          a = Δv/Δt , 

für den dreidimensionalen Beschleunigungsvektor  ax = Δvx/Δt .

Für deren Beträge folgt                   a / ax = Δv / Δvx   

und somit                          a = ax Δv / Δvx .

                                                   
Abb. 4: Relativistische Beschleunigung eines Teilchens im vierdimensionalen Raum
 
Für  Δt → 0 und damit auch  Δv → 0  geht der Sekantenvektor a in einen Tangentenvektor über und Δv/Δvx in die Ableitung  dv/dvx  von v = γ vx .
                                                        a = ax dv/dvx

                                                                                       a = ax [(dγ/dvx) vx + γ]

                                                dγ/dvx = d/dvx [1 - (vx2/ c2)-1/2] = (-1/2) [1 - (vx2/ c2)-3/2] ∙ (-2 vx /c2 ) = γ3 vx /c2  

                                                             a = ax (γ3 vx2/ c2  + γ) = ax γ (γ2 vx2 / c2 + 1) = ax γ (v2/ c2 + 1)

Gl. 11    ⇒                    a = {F / [m0 γ (1 + (vx γ / c)2 )]}  γ (v2 / c2 + 1) = {F / [m0 γ (1 + (v / c)2)]}  γ (v2 / c2 + 1)

                                                                                                 a = F / m0                                              (13) 
 
Im vierdimensionalen Raum gilt das 2. Newtonsche Gesetz also auch bei relativistischen Geschwindigkeiten. Auch dies ist ein in der SRT bekanntes Ergebnis [2], [3], was wiederum den hier verwendeten Ansatz bestätigt. Es scheint den Abbildungen 3 und 4 zu widersprechen, da dort bei  konstanten Δvx-Schritten  bei Annäherung von vx an c immer längere Δv-Pfeile auftreten,   so dass a keineswegs konstant erscheint. Es müssen aber die Zeiten Δt berücksichtigt werden, die bei Annäherung an c entsprechend zunehmen.






5. Energie, Masse und Zeit
 
Gl. 9                                             E = √ (m02 c4 + m02 c2 v2) = m0 c √ (c2 + v2) = c pE  

wird nun so interpretiert, dass ein Teilchen mit der Gesamtenergie E und der Masse m0 den Impuls pE = m0 √ (c2 + v2)   hat und sich mit der Geschwindigkeit  vE = √ (c2 + v2) bewegt.  Der dazugehörige Geschwindigkeitsvektor vE ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit den Geschwindigkeiten c und v . 
Der Vektor v liegt in der x-w-Ebene, der Vektor c muss senkrecht dazu verlaufen. In einer fünfdimensionalen Raumzeit bleibt dafür nur die Zeitrichtung übrig. Dazu passt, dass für ein Photon mit der Geschwindigkeit c wegen der Zeitdilatation in seinem Ruhsystem keine Zeit vergeht. D.h. mit dem Photon bewegt sich auch seine Zeitkoordinate in seinem Ruhsystem und damit sein ganzes Bezugssystem. Ein Teilchen mit der Geschwindigkeit vE  bewegt sich also in Zeitrichtung so schnell wie das Ruhsystem der Zeit, nämlich mit Lichtgeschwindigkeit (Abb. 5). Es fliegt mit der Zeit mit und hat dadurch eine zusätzliche kinetische Energie, die Ruheenergie m0 c2 . Die Ruheenergie resultiert aus der Bewegung des Universums in Zeitrichtung. 

                                               
Abb. 5: Bewegung eines Körpers mit  vx = 0,5 c und der vierdimensionalen Geschwindigkeit v und mit der Bewegung der x-w-Ebene in Zeitrichtung mit Lichtgeschwindigkeit; resultierender Geschwindigkeitsvektor  vE ; Weltlinien im R4 und R5 blau; Ruheenergie  E0 und Gesamtenergie E als rote Strecken, bei der gewählten Maßeinheit m0 c mit gleichen Beträgen wie die Geschwindigkeitsvektoren c und  vE .

Gl. 9:                                      E = m0 c √ (c2 + v2)          ⇒       E / (m0 c) = √ (c2 + v2) = vE

                                                                     E0 = m0 c                      ⇒         E0 / (m0 c) = c

Gl. 8 und 4:                                      c p = c m0 v      ⇒       (c p) / (m0 c) = v

D.h. dem rechtwinkligen Dreieck in Abb. 2 mit der Invarianz von Gesamtenergie und Impuls (Gl. acht) entspricht in Abb. 5 das rechtwinklige Dreieck aus den Vektoren vE , v und c  mit einer Invarianz von fünfdimensionaler und vierdimensionaler Geschwindigkeit.

                                                             vE2 - v2 = c2                                                   (14) 
 
Dabei kann v > c  gelten, aber immer gilt vE ≥ c .

Die Terme für die Gesamtenergie    E = m0 c √ (c2 + v2)   und    E = m c2   sind äquivalent.

Beweis:                                                   m0 c √ (c2 + v2) = m c2

                                                                                          m0 c2 √ ((c2 + v2) / c2) = m0 γ c2

                                                                                          √ (1 + v2 / c2) = γ                                           (15)

v = γ vx                      ⇒                           1 + (γ vx / c)2 = γ2

                                                                                          1 = γ2 (1 - vx2 / c2)

                                                                                          1 = [1 / (1 - vx2 / c2)] (1 - vx2 / c2)

                                                                                          1 = 1                                      q. e. d.

Mit                                               (c / c) √ (c2 + v2) = c √ (1 + (v / c)2)

folgt                                               E = m0 c √ (c2 + v2) = m0 c2 √ (1 + (v / c)2)

                                                                              E = E0 √ (1 + (v / c)2)  .                                           (16)

Daraus folgt für die kinetische Gesamtenergie diese Abhängigkeit von der vierdimensionalen Geschwindigkeit v: 

                                                                              Ek= E - E0 = E0 [√ (1 + (v / c)2) - 1]                                           (17)
 
Die Graphen E(v) und Ek(v) siehe Abb. 6 . Wie an Gl. 8 erkennbar ist, handelt es sich dabei um Hyperbelzweige.

Der Term für die kinetische Gesamtenergie aus Abschnitt 2          Ek = m0 c2 (γ - 1) 

ist äquivalent zu demjenigen aus Gl. 17, denn                               √ (1 + v2 / c2) = γ   ,     s. Gl. 15 .

                                             
                                            
Abb. 6: Darstellung der Graphen von  E = E0 √ (1 + (v / c)2)  ;  D = [0 ; ∞[  (rot)  mit seiner Asymptoten  E ⁄ (m0 c2) = v / c   und von Ek = m0 c2 (√ (1 + (v / c)2) - 1)  ;  D = [0 ; ∞[  (schwarz) für E0 = 1 Nm; Anders als vx ist v unbegrenzt, s. Abb. 3.

Für die kinetische Energie eines relativistisch bewegten Teilchens gilt

                                                                     Ek = E - E0 = m c2 - m0 c2 = (m - m0) c2 = Δm c2 

Aus (9) folgt                                                       Δm = (E - E0) / c2 = (m0 c vE - m0  c2) / c2 

                                                                                               Δm = (m0 / c) (vE - c)                                                                            (18) 
 
Die vermeintliche relativistische Massenzunahme Δm ist demnach eine lineare Funktion der fünfdimensionalen Geschwindigkeit vE und zur Geschwindigkeitsdifferenz vE - c  proportional (s. Abb. 7). Es handelt sich also gemäß dieser Hypothese um die kinetische Energie dieser Geschwindigkeitsdifferenz (geteilt durch c²). In der relativistischen Massenzunahme macht sich die Geschwindigkeit vE  bemerkbar, obwohl sie im fünfdimensionalen Raum liegt. Und auch für die behauptete Bewegung unseres dreidimensionalen Raumes mit Lichtgeschwindigkeit durch einen fünfdimensionalen Raum  ist dieser Zusammenhang ein Indiz.

                                              
Abb. 7: Darstellung der Differenz der Beträge von vE und c    vE – c , welcher die relativistische Massenzunahme proportional ist. Für vx → c  geht v → ∞ und auch vE → ∞. Da der Subtrahend c , die Strecke mit dem Betrag von c, konstant bleibt geht auch vE – c gegen unendlich, so wie die relativistische Massenzunahme.
 
Δm lässt sich auch in Abhängigkeit von der vierdimensionalen Geschwindigkeit v ausdrücken. Aus Gl. 17 folgt

                                                                      Δm = (E - E0) / c2 = (E0 / c2 ) [√ (1 + (v/c)2 ) - 1] ,

was mit Gl. 15 zur bekannten Formel                           Δm = (E0 / c2 ) (γ - 1)              führt.  

 

6. Zusammenfassung und Ausblick
 
Die dynamische Masse eines relativistisch bewegten Körpers ist die überholte Deutung der kinetischen Energie seiner fünfdimensionalen Geschwindigkeit. Seine Masse bleibt konstant. Die angebliche relativistische Massenzunahme erklärt sich aus der Begrenzung der dreidimensionalen Geschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit und der dadurch erzwungenen Zunahme der vierdimensionalen Geschwindigkeit und ihrer kinetischen Energie.
Der vierdimensionalen Geschwindigkeit des Körpers wird ein Impuls zugeordnet und die relativistische Energie-Impuls-Invariante wird aus der Anordnung der dreidimensionalen und vierdimensionalen Geschwindigkeiten hergeleitet.
Es wird gezeigt, dass für die Beschleunigung der vierdimensionalen Geschwindigkeit das zweite Newtonsche Gesetz gilt.  
Die Gesamtenergie wird als Funktion der vierdimensionalen Geschwindigkeit rechnerisch und zeichnerisch dargestellt.
Die Ruheenergie eines Körpers ist die kinetische Energie seiner Bewegung durch die Zeitdimension. Wegen der Konstanz der Masse ist damit das Wesen der Masse erklärt.
Der vierdimensionale Kosmos – und mit ihm das dreidimensionale Universum – bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit orthogonal durch die fünfte, zeitliche Dimension. Die Zeit erhält dadurch einen räumlichen Charakter. Das Universum ist demnach ein sich bewegender dreidimensionaler Schnittraum der fünfdimensionalen Raumzeit.

Die Zeit ist die variable Ortskoordinate  des vierdimensionalen Schnittraumes eines fünfdimensionalen euklidischen Raumes, welcher aus dem dreidimensionalen Universum zuzüglich einer vierten räumlichen Dimension besteht, und sich mit Lichtgeschwindigkeit senkrecht zu allen vier Ausbreitungsrichtungen in der fünften Dimension verschiebt.
 
Die Ergänzung der bisherigen [1] vierdimensionalen relativistischen Kinematik durch die dargestellten Aussagen zur Dynamik und Energie schließen nicht nur eine Erklärungslücke, sondern erklären auch die Konstanz der Masse, die Energie-Impuls-Invarianz, die Existenz von Ruheenergie und das Wesen von Masse und Zeit. Das mag als weiteres Indiz dafür gelten, dass die hypothetische vierte räumliche Dimension keine reine Hilfskonstruktion ist, sondern real existieren könnte. Und vermutlich lässt sich mit diesem Ansatz auch die Begrenzung aller Wirkungsgeschwindigkeiten durch die Lichtgeschwindigkeit erklären.
 
 
 





Quellenangaben 
 
[1] www.zenodo.org ; DOI 10.5281/zenodo.17266293 
      www.roland-sprenger.de: Ruhelänge und dilatierte Zeit im R5
 
[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Relativistische_Massenzunahme
 
[3] en.wikipedia.org/Mass in special relativity
 
 
 
 
Anhang

 
Konstruktion von ψ

Aus Gl. 3                                        cos⁡ ψ = √ (1 -vx2 / c2)

folgt                                        cos2ψ + vx2/ c2 = 1

und daraus                                sin⁡ ψ = vx / c .
 
Schlägt man um den Ursprung einen Kreis mit dem Radius 1c und zieht man im Abstand vx/c eine Parallele zur  vx – Achse (s. Abb. 3), so weist der freie Schenkel von ψ durch den Schnittpunkt der Parallele mit dem Kreisbogen.

                                                
Abb. 3: Konstruktionsverfahren für den Winkel ψ nur mithilfe der Geschwindigkeit vx